Question

已知函數f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2．
（Ⅰ）當a=-1時，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＞0時，設函數g（x）=f（x）-x-2，且函數g（x）有且僅有一個零點，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數零點的判定定理

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=-1時，求導數，可得切線斜率，求出切點坐標，即可求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-x-2=0，可得a=

1-(x-2)lnx

x

，令h（x）=

1-(x-2)lnx

x

，證明h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，可得h（x）_max=h（1）=1，即可求得函數g（x）有且僅有一個零點a的值，然后結合e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）_max，即可求得m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=（x²-2x）•lnx-x²+2，定義域（0，+∞），
∴f′（x）=（2x-2）•lnx+（x-2）-2x．
∴f′（1）=-3，
又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程3x+y-4=0；

（Ⅱ）g（x）=f（x）-x-2=0，
則（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，即a=

1-(x-2)lnx

x

，
令h（x）=

1-(x-2)lnx

x

，
則h′（x）=

1-x-2lnx

x2

，令t（x）=1-x-2lnx，則t′（x）=

-x-2

x

，
∵x＞0，∴t′（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是減函數，
又∵t（1）=h′（1）=0，
∴當0＜x＜1時，h′（x）＞0，當x＞1時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴h（x）_max=h（1）=1，
∴當函數g（x）有且僅有一個零點時a=1，
當a=1時，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，
若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，只需證明g（x）_max≤m，
∴g′（x）=（x-1）（3+2lnx），
令g′（x）=0，得x=1或x=e-

3

2

，
又∵e^-2＜x＜e，
∴函數g（x）在（e^-2，e-

3

2

）上單調遞增，在（e-

3

2

，1）上單調遞減，在（1，e）上單調遞增，
又g（e-

3

2

）=-

1

2

e^-3+2e-

3

2

，g（e）=2e²-3e，
∵g（e-

3

2

）=-

1

2

e^-3+2e-

3

2

＜2e-

3

2

＜2e＜2e（e-

3

2

）=g（e），
∴g（e-

3

2

）＜g（e），
∴m≥2e²-3e．

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查分離參數法的運用，屬于難題．