Question

長(zhǎng)為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y²=x上滑動(dòng)，則線段AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值是

3

4

．

Answer 1

分析：設(shè)A、B、M拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為C、D、N，連結(jié)AC、BD、MN．根據(jù)梯形中位線定理證出|MN|=

1

2

（|AC|+|BD|），利用拋物線的定義得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|，由此結(jié)合平面幾何的知識(shí)證出|MN|≥

1

2

|AB|=1，即可求出AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值．

解答：解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，A、B、M在l上的射影分別為C、D、N，連結(jié)AC、BD、MN．
由梯形的中位線定理，可得|MN|=

1

2

（|AC|+|BD|）
連結(jié)AF、BF，根據(jù)拋物線的定義得|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得|AF|+|BF|≥|AB|，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)取等號(hào)
∴|AC|+|BD|≥|AB|=2，
可得|MN|=

1

2

（|AC|+|BD|）≥

1

2

|AB|=1
設(shè)M的橫坐標(biāo)為a，則|MN|=a+

1

4

≥1，得a≥

3

4

．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)線段AB為拋物線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的弦時(shí)，
AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值為

3

4

故答案為：

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線長(zhǎng)度為2的弦，當(dāng)弦在拋物線上滑動(dòng)時(shí)求它的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的最小距離．著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．