Question

設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a²，3a²，…，naⁿ的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)數(shù)列a，2a²，3a²，…，naⁿ的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)a=0時(shí)，則S_n=0；當(dāng)a=1時(shí)，S_n=

n(n+1)

2

．若a≠0且a≠1時(shí)，利用錯(cuò)位相減法求解．

解答： 解：設(shè)數(shù)列a，2a²，3a²，…，naⁿ的前n項(xiàng)和為S_n，
當(dāng)a=0時(shí)，則S_n=0．
當(dāng)a=1時(shí)，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
若a≠0且a≠1時(shí)，則S_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ，①
∴aS_n=a²+2 a³+3 a⁴+…+naⁿ⁺¹，②
①-②，得（1-a） S_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹
=

a(1-an)

1-a

-nan+1，
∴S_n=

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

，（a≠1）
若a=0，則S_n=0適合上式．
S_n=

n(n+1) 2 ，n=1 a-an+1 (1-a)2 - nan+1 1-a ，n≠1

．
∴數(shù)列a，2a²，3a²，…，naⁿ的前n項(xiàng)和為

n(n+1) 2 ，n=1 a-an+1 (1-a)2 - nan+1 1-a ，n≠1

．．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．