Question

求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為2的圓的方程．

Answer 1

分析：根據題意，設圓心為C（a，3a），可得圓的半徑r=|3a|．再算出點C到直線x-y=0的距離為

2

|a|，根據垂徑定理建立關于a的等式，解出a值即可得到所求圓的方程．

解答：解：由圓心在直線3x-y=0上，設圓心為C（a，3a），
∵圓C與x軸相切，∴點C到x軸的距離等于半徑，可得r=|3a|，
由此得到圓的方程為（x-a）²+（y-3）²=9a²，
點C到直線x-y=0的距離為d=

|a-3a|

2

=

2

|a|，
∵圓C被直線x-y=0截得的弦長為2，
∴根據垂徑定理，得2

r2-d2

=2，即2

9a2-2a2

=2，解之得a=±

7

7

．
由此可得圓心為C（

7

7

，

3 7

7

）或C（-

7

7

，-

3 7

7

），半徑r=

3 7

7

因此，所求的圓的方程是（x-

7

7

）²+（y-

3 7

7

）²=

9

7

或（x+1）²+（y+

3 7

7

）²=

9

7

．

點評：本題給出圓滿足的條件，求圓的方程．著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．