Question

已知⊙C：（x-1）²+（y-2）²=4及經過點P（3，-1）的直線l．
（1）當l平分⊙C時，求直線l的方程；
（2）當l與⊙C相切時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓C的方程找出圓心C的坐標和半徑r，由直線l平分圓C，得到直線l過圓心，故由P和C的坐標確定出直線l的方程即可；
（2）當直線l的斜率不存在時，顯然x=3滿足題意；當直線l的斜率存在時，設斜率為k，由直線l過P，寫出直線l的點斜式方程，由直線l與圓C相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，故利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，進而確定出此時直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程．

解答：解：（1）∵⊙C：（x-1）²+（y-2）²=4，
∴圓心C的坐標為（1，2），半徑r=2，
當l平分⊙C時，必有直線l過圓心（1，2），又直線l過P（3，-1），
則直線l的方程為y-2=-

3

2

(x-1)，即3x+2y+7=0；…（5分）
（2）當直線l的斜率不存在時，
其方程為x=3，經檢驗，符合題意；…（8分）
當直線l的斜率k存在時，
設直線l的方程為y+1=k（x-3），即kx-y-3k-1=0，
∵直線l與圓C相切，
∴圓心（1，2）到直線kx-y-3k-1=0的距離為圓的半徑2，
即

|-2k-3|

1+k2

=2，解得：k=-

5

12

，
此時直線l的方程為y+1=-

5

12

（x-3），即5x+12y-3=0，
綜上，當l與⊙C相切時，直線l的方程為x=3或5x+12y-3=0．…（12分）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，圓的對稱性，直線的點斜式方程，以及點到直線的距離公式，利用了分類討論的思想，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題第二問的關鍵．