（本小題滿分12分）
如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D為AC的中點.
（Ⅰ）求證：AB1//面BDC1；
　 （Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；
（Ⅲ）在側(cè)棱AA­1上是否存在點P，使得
CP⊥面BDC1？并證明你的結(jié)論.


 
 

 

（Ⅰ）略
（Ⅱ）
（Ⅲ）略
（I）證明：
連接B1C，與BC1相交于O，連接OD
∵BCC1B1是矩形，
∴O是B1C的中點.


 
又D是AC的中點，

∴OD//AB1.………………………………………………2分
∵AB­1面BDC­1，OD面BDC1，
∴AB1//面BDC1.…………………………………………4分
（II）解：如力，建立空間直角坐標系，則
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）……………………5分
設=（x1，y1，z1）是面BDC1的一個法向量，則

即.…………6分
易知=(0，3，0)是面ABC的一個法向量.
.…………………………8分
∴二面角C1—BD—C的余弦值為.………………………………9分
（III）假設側(cè)棱AA1上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.
則
∴方程組無解.
∴假設不成立.
∴側(cè)棱AA1上不存在點P，使CP⊥面BDC1.……………14分
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（1）平面；
（2）.

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