Question

設(shè)，則函數(shù)的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：先利用二倍角公式將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)，有兩個(gè)方向，一是通過(guò)升次縮角，將函數(shù)中的角統(tǒng)一為單角x，通過(guò)對(duì)二次齊次式分子分母同除以cos²x的辦法，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的正切函數(shù)的值域問(wèn)題，利用均值定理求最值，
法二：是通過(guò)降次擴(kuò)角，將函數(shù)中的角統(tǒng)一為倍角2x，利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值
解答：解：解法一：∵==
∵，∴cosx＞0，tanx＞0，
∴將f（x）的分子分母同除以cos²x
∴f（x）===2
（當(dāng)且僅當(dāng)tanx=，即x=時(shí)取等號(hào)）
∴函數(shù)的最小值為 2
故答案為2
解法二：∵==
∴設(shè)x=sin2x，y=cos2x，
∵，∴0＜x≤1，-1＜y＜1，
且x²+y²=1
∴點(diǎn)P（x，y）在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的右半圓上，如圖
此時(shí)表示點(diǎn)P與點(diǎn)（0，2）連線的斜率
數(shù)形結(jié)合可得：OP=r=1，OM=2，∠MAO=60°
∴≤-
∴=≥2
∴函數(shù)的最小值為 2
故答案為2
點(diǎn)評(píng)：本題考察了三角函數(shù)求最值的方法，二倍角公式的應(yīng)用，均值定理求最值和數(shù)形結(jié)合求最值的運(yùn)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法