Question

已知函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]上的圖象如圖所示：給出下列四個命題：

①方程f[g（x）]=0有且僅有6個根；  
②方程g[f（x）]=0有且僅有3個根；
③方程f[f（x）]=0有且僅有7個根；  
④方程g[g（x）]=0有且僅有4個根．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：把復合函數(shù)的定義域和值域進行對接，看滿足外層函數(shù)為零時內層函數(shù)有幾個自變量與之相對應．

解答： 解：①設t=g（x），則由f[g（x）]=0，即f（t）=0，則t₁=0或-2＜t₂＜-1或1＜t₃＜2，
當t₁=0時，t=g（x）有2個不同值，
當-2＜t₂＜-1時，t=g（x）有2個不同值，
當1＜t₃＜2，時，t=g（x）有2個不同值，∴方程f[g（x）]=0有且僅有6個根，故①正確．
②設t=f（x），若g[f（x）]=0，即g（t）=0，
則-2＜t₁＜-1或0＜t₂＜1，
當-2＜t₁＜-1時，t=f（x）有1個不同值，
當0＜t₂＜1時，t=f（x）有3個不同值，
∴方程g[f（x）]=0有且僅有4個根，故②錯誤．
③設t=f（x），若f[f（x）]=0，即f（t）=0，
則t₁=0或-2＜t₂＜-1或1＜t₃＜2，
當t₁=0時，t=f（x）有3個不同值，
當-2＜t₂＜-1時，t=f（x）有1個不同值，
當1＜t₃＜2，時，t=f（x）有1個不同值，∴方程f[f（x）]=0有且僅有5個根，故③錯誤．
④設t=g（x），若g[g（x）]=0，即g（t）=0，
則-2＜t₁＜-1或0＜t₂＜1，
當-2＜t₁＜-1時，t=g（x）有2個不同值，
當0＜t₂＜1時，t=g（x）有2個不同值，∴方程g[g（x）]=0有且僅有4個根，故④正確．
故正確的是①④，
故答案為：①④

點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，根據(jù)函數(shù)的圖象，分別判斷根的個數(shù)，考查學生的邏輯思維能力及識別圖象的能力．