Question

l₁與l₂之間是兩條異面直線，AD∈l₁，BC∈l₂，若l₁與l₂成60°，且AB=CD=a，AD=BC=b，求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：取幾條線段的中點并連接起來：分別是線段BD中點F，CD中點G，BC中點H，AC中點I，并連接FH，F(xiàn)G，F(xiàn)I，HI，GI，則∠FGI=60°或120°，∠FHI或180°-∠FHI是AB與CD所成角，所以在△FGI和△FHI根據(jù)一些邊角的值根據(jù)余弦定理求出∠FHI余弦值，并加絕對值即得異面直線AB與CD所成角的余弦值．

解答： 解：如圖，連接BD，AC，分別取BD，CD，BC，AC的中點F，G，H，I，并連接FG，F(xiàn)H，F(xiàn)I，GI，HI；
∵根據(jù)中位線的性質(zhì)及已知條件知：FG=

1

2

b，GI=

1

2

b，∠FGI=60°或120°，FH=

a

2

，HI=

a

2

，且∠FHI，或180°-∠FHI是AB與CD所成的角；
∴∠FGI=60°時，由FG=GI=

b

2

，知△FGI是等邊三角形，∴FI=

b

2

；
∴在△FHI中，由余弦定理得：cos∠FHI=

a2 4 + a2 4 - b2 4

2• a 2 • a 2

=

2a2-b2

2a2

；
∠FGI=120°時，在△FGI中，由余弦定理得：FI2=

b2

4

+

b2

4

+2•

b

2

•

b

2

•

1

2

=

3b2

4

；
∴在△FHI中，由余弦定理得：cos∠FHI=

a2 4 + a2 4 - 3b2 4

2• a 2 • a 2

=

2a2-3b2

2a2

；
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為：

|2a2-b2|

2a2

或

|2a2-3b2|

2a2

．

點評：考查三角形中位線的性質(zhì)，余弦定理，而求解本題的關(guān)鍵是找到能聯(lián)系的兩個三角形．