【題目】如圖,在四棱錐中,
底面
,底面
為平行四邊形,
,且
,
,
是棱
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值;
(3)在線段上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)
,使得二面角
的余弦值為
?若存在,確定
的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析.(2).(3)存在,
【解析】
(1)連接交
于點(diǎn)
,連接
,可證
,從而得線面平行;
(2)由題意以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
所在直線為
軸,
軸,
軸建立空間直角坐標(biāo)系,可用向量法求出線面角;
(3)在(2)基礎(chǔ)上,設(shè),求出平面
和平面
((2)中已有)法向量,由法向量夾角與二面角的關(guān)系可求得
.
(1)連接交
于點(diǎn)
,連接
.
∵是平行四邊形,∴
是
的中點(diǎn).又
是
的中點(diǎn),∴
又平面
,
平面
,∴
平面
;
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
所在直線為
軸,
軸,
軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
,
,
,
,
,
.
設(shè)平面的法向量為
.
∵,
∴即
不妨取,得
又.
設(shè)直線與平面
所成的角為
,
則,
即直線與平面
所成角的正弦值為
.
(3)假設(shè)在線段上(不含端點(diǎn))存在一點(diǎn)
,使得二面角
的余弦值為
.連接
.設(shè)
, 得
.
設(shè)平面的法向量為
.
∵,
∴即
不妨取,得
設(shè)二面角的平面角為
,
則.
化簡(jiǎn)得,
解得,或
.
∵二面角的余弦值為
,
∴.
∴在線段上存在一點(diǎn)
,且
,使得二面角
的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,隨著全球石油資源緊張、大氣污染日益嚴(yán)重和電池技術(shù)的提高,電動(dòng)汽車已被世界公認(rèn)為21世紀(jì)汽車工業(yè)改造和發(fā)展的主要方向.為了降低對(duì)大氣的污染和能源的消耗,某品牌汽車制造商研發(fā)了兩款電動(dòng)汽車車型和車型
,并在黃金周期間同時(shí)投放市場(chǎng).為了了解這兩款車型在黃金周的銷售情況,制造商隨機(jī)調(diào)查了5家汽車
店的銷量(單位:臺(tái)),得到下表:
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 |
車型 | 6 | 6 | 13 | 8 | 11 |
車型 | 12 | 9 | 13 | 6 | 4 |
(1)若從甲、乙兩家店銷售出的電動(dòng)汽車中分別各自隨機(jī)抽取1臺(tái)電動(dòng)汽車作滿意度調(diào)查,求抽取的2臺(tái)電動(dòng)汽車中至少有1臺(tái)是車型
的概率;
(2)現(xiàn)從這5家汽車店中任選3家舉行促銷活動(dòng),用
表示其中車型
銷量超過車型
銷量的
店的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的方程為
,以原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
.若將曲線
上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的
倍,得曲線
.
(1)寫出直線和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn), 直線
與曲線
的兩個(gè)交點(diǎn)分別為
,
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某植物學(xué)家培養(yǎng)出一種觀賞性植物,會(huì)開出紅花或黃花,已知該植物第一代開紅花和黃花的概率都是,從第二代開始,若上一代開紅花,則這一代開紅花的概率是
,開黃花的概率是
;若上一代開黃花,則這一代開紅花的概率是
,開黃花的概率是
.記第n代開紅花的概率為
,第n代開黃花的概率為
.
(1)求;
(2)①證明:數(shù)列為等比數(shù)列;
②第代開哪種顏色花的概率更大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,圓錐的底面半徑為2,
是圓周上的定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)
在圓周上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)
(
),
是母線
的中點(diǎn),已知當(dāng)
時(shí),
與底面所成角為
.
(1)求該圓錐的側(cè)面積;
(2)若,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的五面體中,是正方形,
是等腰梯形,且平面
平面
,
為
的中點(diǎn),
,
.
(1)求證:平面平面
;
(2)為線段
的中點(diǎn),
在線段
上,記
,
是線段
上的動(dòng)點(diǎn). 當(dāng)
為何值時(shí),三棱錐
的體積為定值?證明此時(shí)二面角
為定值,并求出其余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市場(chǎng)研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營(yíng)狀況,對(duì)該公司2018年連續(xù)六個(gè)月的利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖,如圖所示
(1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月利潤(rùn)(單位:百萬元)與月份代碼
之間的關(guān)系,求
關(guān)于
的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司2019年3月份的利潤(rùn);
(2)甲公司新研制了一款產(chǎn)品,需要采購一批新型材料,現(xiàn)有,
兩種型號(hào)的新型材料可供選擇,按規(guī)定每種新型材料最多可使用
個(gè)月,但新材料的不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致材料損壞的年限不相同,現(xiàn)對(duì)
,
兩種型號(hào)的新型材料對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品各
件進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試,得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表:
使用壽命 材料類型 |
|
|
|
| 總計(jì) |
如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人,你會(huì)選擇采購哪款新型材料?
參考數(shù)據(jù):,
.參考公式:回歸直線方程為
,其中
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是拋物線
:
上的一點(diǎn),其焦點(diǎn)為點(diǎn)
,且拋物線
在點(diǎn)
處的切線
交圓
:
于不同的兩點(diǎn)
,
.
(1)若點(diǎn),求
的值;
(2)設(shè)點(diǎn)為弦
的中點(diǎn),焦點(diǎn)
關(guān)于圓心
的對(duì)稱點(diǎn)為
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)集
,在
中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn),則這三個(gè)點(diǎn)兩兩之間距離不超過2的概率為________
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