Question

如圖，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=AF=a，AB=2CD=2a．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面BCE；
（Ⅲ）求四棱錐C-ABEF的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）求證AF∥BE，而后可得，AF∥平面BCE；（Ⅱ）由AC⊥BC，BE⊥AC可證AC⊥平面BCE；（Ⅲ）利用體積公式求四棱錐C-ABEF的體積．

解答： 解：
（I）因為四邊形ABEF為矩形，
∴AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）過C作CM⊥AB，垂足為M，∵AD⊥DC，
∴四邊形ADCM為矩形．
∴AM=MB=a．
又∵AD=a，AB=2CD=2a，
∴AC=

2

a，BC=

2

a．
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
∵平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，
∴BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC．BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE．
（III）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
CM⊥AB，CM?平面ABCD，
∴CM⊥平面ABEF．
VC-ABEF=

1

3

CM•S矩形ABEF=

1

3

×a×a×2a=

2

3

a3．

點評：考查了線面垂直的判定定理、線面平行的判定定理及錐體體積公式，是高考的熱點，屬于中檔題．