Question

如圖，在幾何體ABCD-A₁D₁C₁中，四邊形ABCD，A₁ADD₁，DCC₁D₁均為邊長為1的正方形．
（1）求證：BD₁⊥A₁C₁．
（2）求二面角D₁-A₁C₁-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先通過線線平行進一步證得面面平行，再得到線線垂直，利用線線垂直得到線面垂直．
（2）先作出二面角的平面角，在三角形中再利用余弦定理求出結果

解答： （1）證明：連結AC、BD交于O，
在幾何體ABCD-A₁D₁C₁中，四邊形ABCD，A₁ADD₁，DCC₁D₁均為邊長為1的正方形．
A₁D₁∥AD  D₁C₁∥DC∠ADC和∠A₁D₁C₁ 方向相同
所以：平面ACD∥平面A₁D₁C₁
AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁
四邊形A₁ACC₁是平行四邊形
由四邊形ABCD是正方形得到：AC⊥BD
所以：BD⊥A₁C₁
DD₁⊥A₁C₁
所以：A₁C₁⊥平面BDD₁
BD₁⊥A₁C₁
（2）解：取A₁C₁的中點E，根據A₁D₁=C₁D₁
根據正方形的性質：A₁B=BC₁
BE⊥A₁C₁
所以：∠D₁EB是二面角D₁-A₁C₁-B的平面角
所以：求出：D1E=

2

2

，BD1=

3

，BE=

6

2

在△BD₁E中，利用余弦定理：
cos∠D1EB=

D1E2+BE2-BD12

2D1E•BE

=-

3

3

所以：二面角D₁-A₁C₁-B的余弦值-

3

3

點評：本題考查的知識要點：面面平行的性質，面面垂直的性質定理，線面垂直的判定定理，二面角問題，余弦定理得應用，及相關的運算問題．