Question

（本題滿分14分）

已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P引圓O：x²+y²=b²的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點(diǎn)，試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

 (1) .  (2)橢圓C上存在四個(gè)點(diǎn)，分別由這四個(gè)點(diǎn)向圓O所引的兩條切線均互相垂直.  

【解析】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的等式．

（1）直接根據(jù)條件列出 a²=b²+c^2，a=3，e=，解方程求出b，c即可得到橢圓C的方程；

（2）先根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的等式；再結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意,  ∴b=2,   ---------2分

∴所求橢圓方程為.      ---------------4分

(2)如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x₀,y₀),                -------5分

若∠APB=90°,則有|OA|=|AP|.               ---------6分

即|OA|=,

有2=,

兩邊平方得x₀²+y₀²=8                       ①

又因?yàn)镻(x₀,y₀)在橢圓上，所以4x₀²+9y₀²=36  ②

①,②聯(lián)立解得            ---------9分

所以滿足條件的有以下四組解

     -----------12分

所以，橢圓C上存在四個(gè)點(diǎn)，分別由這四個(gè)點(diǎn)向圓O所引的兩條切線均互相垂直.         --------14分