Question

對(duì)于函數(shù) 

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；  (2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f (x)為奇函數(shù)？并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)見(jiàn)解析 (2) 故時(shí)函數(shù)f (x)為奇函數(shù)

【解析】(1)利用單調(diào)性的定義證明：先從定義域Ｒ內(nèi)任取兩個(gè)不同的值x₁ , x₂，設(shè)設(shè)x₁ < x₂ ,然后再確定 f (x₁) – f (x₂)的符號(hào)，若是正值，是增函數(shù)，若是負(fù)值是減函數(shù)．因?yàn)楹袇?shù)b,可能要對(duì)b進(jìn)行討論．

解：(1)函數(shù)f (x)的定義域是R                ……2分

證明：設(shè)x₁ < x₂ ； 

f (x₁) – f (x₂) = a--( a-)=

當(dāng)   x₁<x₂     得 < 0

得f (x₁) – f (x₂) < 0所以f (x₁) < f (x₂)

故此時(shí)函數(shù)f (x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；    ……6分

             

當(dāng)x₁<x₂     得 0

得f (x₁) – f (x₂)  0所以f (x₁)  f (x₂)

故此時(shí)函數(shù)f (x)在R上是單調(diào)減函數(shù)       ……10分

注：用求導(dǎo)法也可證明.

(2) f (x)的定義域是R，

由    ，求得.     …11分

當(dāng)時(shí)，，，

滿足條件，故時(shí)函數(shù)f (x)為奇函數(shù)                 …14分