在四面體P—ABC中，PA、PB、PC兩兩互相垂直，P在△ABC內(nèi)的射影為O.試用向量法證明O為△ABC的垂心.

證明：如圖,設(shè)=a,=b,=c.?

∵PA,PB,PC兩兩互相垂直,?

∴a·b=0，b·c=0，c·a=0.?

又PO⊥平面ABC,?

∴PO⊥AB,?

∴=0，?

又=-=b-a，?

∴=（b-a）·c=b·c-a·c=0.?

又∵=-,?

∴·=（-）=-=0，∴AB⊥CO.?

同理可證AO⊥BC,BO⊥AC,?

∴O為△ABC的垂心.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在四面體P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2
34
．F是線段PB上一點(diǎn)，CF=
15
17
34
，點(diǎn)E在線段AB上，且EF⊥PB．
（1）證明：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B-CE-F的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1，則
1
h
2
1
=
1
CA2
+
1
CB2
；類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P-ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，如果點(diǎn)A在BC邊上的射影是D，△ABC的三邊BC、AC、AB的長(zhǎng)依次是a、b、c，則a=b•cosC+c•cosb，類比這一結(jié)論，推廣到空間：在四面體P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面積依次為S、S1、S2、S3，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度數(shù)依次為α、β、γ，則S=
S1cosα+S2cosβ+S3cosγ
S1cosα+S2cosβ+S3cosγ
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1，則
1
h
2
1
=
1
|CA|2
+
1
|CB|2
；
類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P-ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，
底面ABC上的高為h，則得到的一個(gè)正確結(jié)論是
1
h2
=
1
|PA|2
+
1
|PB|2
+
1
|PC|2
1
h2
=
1
|PA|2
+
1
|PB|2
+
1
|PC|2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在四面體P-ABC中，對(duì)棱相互垂直，則點(diǎn)P在平面ABC上的射影為△ABC的（　�。�

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