Question

已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x)=a

x

3

+b

x

2

+cx+d，x∈R（a，b，c，d為常數(shù)且a≠0），f'（x）=0是關(guān)于x的一元二次方程，根的判別式為△，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①△＜0是y=f（x）在（-∞，+∞）為單調(diào)函數(shù)的充要條件；
②若x₁、x₂分別為y=f（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則x₂＞x₁；
③當(dāng)a＞0，△=0時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
④當(dāng)c=3，b=0，a∈（0，1）時(shí)，y=f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．（填寫(xiě)你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，可得①不正確，而③是正確的；當(dāng)a＞0且f'（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，可得極小值對(duì)應(yīng)的x比極大值對(duì)應(yīng)的x大，故②不正確；當(dāng)c=3，b=0，a∈（0，1）時(shí)，可得f'（x）≥3恒為正數(shù)，因此函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，故④不正確．

解答：解：對(duì)于①，y=f（x）在（-∞，+∞）為單調(diào)函數(shù)的充要條件是f'（x）恒為正負(fù)數(shù)或非正數(shù)，故△≤0，可得①不正確；
對(duì)于②，當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)x₂，x₁是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，可得f'（x）在（-∞，x₂）和（x₁，+∞）上符號(hào)為正，在（x₂，x₁）上符號(hào)為負(fù)，因此在（-∞，x₂）和（x₁，+∞）上f（x）為增函數(shù)，在（x₂，x₁）上為減函數(shù)，故x₁、x₂分別為y=f（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，但x₂＜x₁，因此②不正確；
對(duì)于③，當(dāng)a＞0，△=0時(shí)，f'（x）在R上恒為非負(fù)數(shù)，因此函數(shù)f（x）沒(méi)有減區(qū)間，故f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，得到③正確；
對(duì)于④，當(dāng)c=3，b=0時(shí)，f'（x）=3ax²+3，因?yàn)閍∈（0，1）為正數(shù)，可得f'（x）=3ax²+3≥3恒為正數(shù)，所以y=f（x）在R上單調(diào)遞增，故y=f（x）在[-1，1]上也單調(diào)遞增，故④不正確．
故答案為：③

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系和三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性等概念，屬于中檔題．