求函數(shù)f(x)=
2xx2+1
-2的極值.
分析:由題意對函數(shù)求導,然后解f′(x)=0方程,得到x=-1或x=1,將(-∞,+∞)分為三個區(qū)間,最后通過列表得出導數(shù)在這三個區(qū)間的符號,討論出函數(shù)的單調(diào)性,即可得出函數(shù)的最大最小值.
解答:解:由于函數(shù)f(x)的定義域為R
f'(x)=
2(x2+1)-4x2
(x2+1)2
=
-2(x-1)(x+1)
(x2+1)2

令f'(x)=0得x=-1或x=1列表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 極小值 極大值
由上表可以得到
當x∈(-∞,-1)和x∈(1,+∞)時函數(shù)為減函數(shù)
當x∈(-1,1)時,函數(shù)為增函數(shù)
所以當x=-1時函數(shù)有極小值為-3;當x=1時函數(shù)有極大值為-1
點評:本題考查了函數(shù)的求導及極值的概念,其基本思路是利用導函數(shù)的零點求出可能的極值點,再利用表格討論導數(shù)的正負,從而求其單調(diào)區(qū)間,最后得出函數(shù)的極值,這是典型的化歸思想.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

利用單調(diào)性的定義證明:函數(shù)f(x)=
2
x-1
在(1,+∞)上是減函數(shù),并求函數(shù)f(x)=
2
x-1
,x∈[2,6]的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

求函數(shù)f(x)=
2
x-2
|2x-4|+4
的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

為了求函數(shù)f(x)=2x-x2的一個零點,某同學利用計算器,得到自變量x和函數(shù)值f(x)的部分對應值(精確到0.01)如下表所示:
x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0
f(x) 1.16 1.00 0.68 0.24 -0.24 -0.70 -1.00
則函數(shù)f(x)的一個零點所在區(qū)間是( �。�

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A={y|y=m2+1,-1≤m≤
2
},求函數(shù)f(x)=2x+2-3•4x,x∈A的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•湖南模擬)選做題(請考生在第16題的三個小題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分,要寫出必要的推理與演算過程)
(1)如圖,已知Rt△ABC的兩條直角邊BC,AC的長分別為3cm,4cm,以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D,試求BD的長.
(2)已知曲線C的參數(shù)方程為
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)),求曲線C上的點到直線x-y+1=0的距離的最大值.
(3)若a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),則
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
,當且僅當
a
x
=
b
y
時上式取等號.請利用以上結(jié)論,求函數(shù)f(x)=
2
x
+
9
1-2x
(x∈0,
1
2
)的最小值.

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