【答案】
分析:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,設(shè)出等腰三角形的腰長為2a,根據(jù)D為AB中點,得到AD等于a,在三角形ADC中,利用余弦定理表示出cosA,解出a
2,然后根據(jù)三角形的面積公式表示出三角形ADC的面積,并設(shè)面積為S,對表示出的面積兩邊求導數(shù),令導函數(shù)等于0求出cosA的值,由cosA的值討論導函數(shù)的正負,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值,且函數(shù)取得最大值時cosA的值,由cosA的值和A的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值,代入S中即可求出三角形ADC面積的最大值,又因為CD為三角形ABC的中線,所以由三角形ADC面積的最大值得到三角形ABC面積的最大值.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/images0.png)
解:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
設(shè)AB=AC=2a,由D是AB的中點,得到AD=DB=a,
在△ADC中,根據(jù)余弦定理得:cosA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/0.png)
=
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,解得a
2=
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,
設(shè)△ADC的面積為S,
則S=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/3.png)
a•2a•sinA=a
2sinA=
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①,
.下研究求面積的最值
法一:求導得:S′=
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=
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,令S′=0,解得cosA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/7.png)
,
當cosA<
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時,S′>0,S單調(diào)遞增;當cosA>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/9.png)
時,S′<0,S單調(diào)遞減,
所以S在cosA=
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處取極大值,且極大值為最大值,此時sinA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/11.png)
,
所以S的最大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/12.png)
=1,
則△ABC的面積的最大值是2S=2.
法二:①式變形為5S-4ScosA=3sinA,可得5S=3sinA+4ScosA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/13.png)
sin(A+θ),其中tanθ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/14.png)
故有5S≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404813340/SYS201310251227394048133016_DA/15.png)
解得S≤1,則△ABC的面積的最大值是2S=2
故答案為:2.
點評:此題考查學生靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值,會利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值,掌握等腰三角形的性質(zhì),是一道中檔題.