Question

設(shè)集合G={f（x）|[f（a）]²-[f（b）]²=f（a-b）•f（a+b），a，b∈R}，以以下命題：
①若f（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

，則f（x）∈G；
②若f（x）=2x，則f（x）∈G
③若f（x）=cosx，則f（x）∈G；
④若f（x）∈G，則y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．
其中真命題的序號是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①②③可驗證時否符合集合的公共屬性；④證明是奇函數(shù)

解答： 解：①當(dāng)f（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

時可計算f（a）]²-[f（b）]²=f（a-b）•f（a+b），不恒等．故錯誤
②當(dāng)f（x）=2x時，f（a）]²-[f（b）]²=f（a-b）•f（a+b）成立．故正確
③令a=b=0，得f（0）=cos0=1，則由f（0）]²-[f（0）]²=0≠f（0-0）•f（0+0），故不符合
④③令x=y=0，得f（0）=0，令x=0，則由f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）得：f（y）•f（-y）=-f²（y）所以f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故正確，
故只有②④正確
故答案為：②④

點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查用賦值法求函數(shù)值，以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力，屬于中檔題．