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已知函數f（x）=lnx+mx2（m∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若A，B是函數f（x）圖象上不同的兩點，且直線AB的斜率恒大于1，求實數m的取值范圍．
考點：利用導數研究函數的單調性,導數在最大值、最小值問題中的應用
專題：導數的綜合應用
分析：（1）先求出函數的導數，再討論m＜0，m≥0的情況，從而得出函數的單調區(qū)間；
（2）由題意得不等式解出即可．
解答： 解：（1）∵f′（x）=
1
x
+2mx，
當m≥0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，
當m＜0時，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜
-
1
2m
，
令f（x）＜0，解得：x＞
-
1
2m
，
∴f（x）在（0，
-
1
2m
）遞增，在（
-
1
2m
，+∞）遞減，
綜上，m≥0時，f（x）在（0，+∞）遞增，
當m＜0時，f（x）在（0，
-
1
2m
）遞增，在（
-
1
2m
，+∞）遞減．
（2）由題意得只需
1
x
+2mx＞1即可，
整理得；2mx2-x+1＞0，
∴△=1-8m＜0，
∴m＞
1
8
．
點評：本題考察了函數的單調性，考查導數的應用，分類討論思想，是一道綜合題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-
2
3
與x=1時都取得極值．
（1）求a，b的值與函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若f（0）=1，且x∈[-1，2]，求函數f（x）的最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2lnx+
1
2
x2，g（x）=3x+b-1．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）-g（x），
（�。┣蠛瘮祔=F（x）的單調區(qū)間；
（ⅱ）若方程F（x）=0有3個不同的實數根，求實數b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設兩數列{an}、{bn}分別滿足an+1=an+2n，bn+1=bn+2（n∈N*），且a1=b1=2．
（Ⅰ）求數列{an}、{bn}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{an•bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx-sinx，2cosx），設f（x）=
a
•
b
．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調增區(qū)間；
（2）當x∈[-
π
4
，
π
4
]時，求函數f（x）的最大值及最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，平面四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，對角線AC與BD交于點O，AO=4，CO=2．將△BCD沿BD向上折起得四面體ABC′D（如圖2）．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面AOC′；
（Ⅱ）若AC′=2
7
，BO=3，求四面體ABC′D的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+k|lnx-1|，g（x）=x|x-k|-2，其中0＜k≤4．
（1）討論函數f（x）的單調性，并求出f（x）的極值；
（2）若對于任意x1∈[1，+∞），都存在x2∈[2，+∞），使得f（x1）=g（x2），求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x2+2xsinθ-1，x∈[-
3
2
，
1
2
]．
（1）若θ=
π
6
，求f（x）的最大值和最小值．
（2）若f（x）在[-
3
2
，
1
2
]上是單調函數，且θ∈[0，2π），求θ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若直線ax+by+1=0（a、b＞0）過圓x2+y2+2x+2y+1=0的圓心，則
1
a
+
4
b
的最小值為
 
．

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