Question

【題目】設函數

（1）當， 恒成立，求實數的取值范圍.

（2）設在上有兩個極值點.

（A）求實數的取值范圍；

（B）求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）（A）；（B）證明見解析；

【解析】試題分析：(1)構造函數，求導數分， ， ， 出函數的最值即可,
(2)函數 有兩個極值點、,即導函數g′(x)有兩個不同的實數根,對a進行分類討論,不妨設，則,構造函數， .,利用函數的單調性證明不等式.

試題解析：

解：（1）∵，且，

∴.

令，則.

①當時， ， 在上為單調遞增函數，

∴時， ，不合題意.

②當時， 時， ， 在上為單調遞增函數，

∴， ，不合題意.

③當時， ， ， 在上為單調遞減函數.

∴時， ，不合題意.

④當時， ， ， 在上為單調遞增函數.

， ， 在上為單調遞減函數.

∴，符合題意.

綜上， .

（2）， .

.

令，則

由已知在上有兩個不等的實根.

（A）①當時， ， 在上為單調遞增函數，不合題意.

②當時， ， 在上為單調遞減函數，不合題意.

③當時， ， ， ， ，

所以， ， ， ，解得.

（B）由已知， ，

∴.

不妨設，則，則 .

令， .

則，∴在上為單調遞增函數，

∴

即，

∴，

∴，

∴，

由（A），

∴， ，

∴.