Question

正項數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=8，a_n²a_n-2=2a_n-1³（n＞3）．
（1）設(shè)b_n=log₂

an+1

2an

，求證數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求通項b_n；
（2）設(shè)c_n=nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

an2

(2an-1)2

=

an-1

2an-2

，由此能證明數(shù)列{b_n}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列，從而能求出bn=

1

2n-1

．
（2）由cn=nbn=

n

2n-1

，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由已知得

an2

(2an-1)2

=

an-1

2an-2

，
∴log2

an2

(2an-1)2

=log2

an-1

2an-2

即2bn-1=bn-2(n＞3)，
又b1=log2

a2

2a1

=1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴bn=

1

2n-1

．…（6分）
（2）∵cn=nbn=

n

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

，
兩式相減得：

1

2

Tn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

，
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．…（12分）

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要注意錯位相減法的合理運用．