Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的離心率

2

2

，橢圓上任意一點到右焦點F的距離的最大值為

2

+1，過M（2，0）任作一條斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交與不同的兩點A、B，點A關于x軸的對稱點為Q．
（1）當k=-

3

3

時，求證：Q、F、B三點共線；
（2）求△MBQ面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 a+c= 2 +1 a2=b2+c2

，從而求出橢圓方程為

x2

2

+y2=1．設直線l的方程為y=k（x-2），由方程組

y=k(x-2) x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識結合已知條件能證明Q，F(xiàn)，B三點共線．
（2）S_△BMQ=

1

2

|BF|•(|y1|+|y2|)，由此利用橢圓弦長公式和基本不等式能求出△BMQ面積S的最大值．

解答： （1）證明：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，
橢圓上任意一點到右焦點F的距離的最大值為

2

+1，
∴

e= c a = 2 2 a+c= 2 +1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
設直線l的方程為y=k（x-2），B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），則Q（x₂，-y₂），
由方程組

y=k(x-2) x2+2y2=2

，消去y，得：
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，①
∴

△=-8(2k2-1)≥0 x1+x2= 8k2 1+2k2 x1x2= 8k2-2 1+2k2

．②
當k=-

3

3

時，

△= 8 3 ＞0 x1+x2= 8 5 x1x2= 2 5

，
∵

FQ

=(x2-1，-y2)，

FB

=（x₁-1，y₁），
（x₂-1）y₁+y₂（x₁-1）y₁+y₂（x₁-1）
=（x₂-1）k（x₁-2）+k（x₂-1）（x₁-1）
=k[2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4]
=k（2×

2

5

-3×

8

5

+4）=0，
∴

FQ

∥

FB

，從而Q，F(xiàn)，B三點共線．
（2）S_△BMQ=

1

2

|BF|•(|y1|+|y2|)
=

1

2

(|y1|+|y2|)
=

1

2

|k(x1+x2)-4k|
=

4|k|

1+2k2

=

4

2|k|+ 1 |k|

≤

2

．
當且僅當“k2=

1

2

”時，等號成立，
∴△BMQ面積S的最大值為

2

．

點評：本題考查三點共線的證明，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．