在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊為a，b，c，設(shè)向量
m
=（a，
1
2
），
n
=（cosC，c-2b），且
m
⊥
n
，
（1）求角A的大�。�
（2）若b+c=4，求△ABC的周長(zhǎng)最小值．
考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理
專題：解三角形
分析：（1）在△ABC中，由
m
•
n
=0，求得cosC=
2b-c
2a
．再由余弦定理可得cosC=
a2+b2-c2
2ab
，化簡(jiǎn)可得a2-b2-c2=-bc，求得cosA=
b2+c2-a2
2bc
的值，可得A的值．
（2）由 b+c=4≥2
bc
，求得bc≤4，再根據(jù)△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=b+c+
16-3bc
，可得△ABC的周長(zhǎng)最小值．
解答： 解：（1）在△ABC中，∵向量
m
=（a，
1
2
），
n
=（cosC，c-2b），且
m
⊥
n
，
∴
m
•
n
=a•cosC+
1
2
c-b=0，即 cosC=
2b-c
2a
．
再由余弦定理可得cosC=
a2+b2-c2
2ab
，∴
2b-c
2a
=
a2+b2-c2
2ab
，∴a2-b2-c2=-bc，
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，∴A=
π
3
．
（2）∵b+c=4≥2
bc
，∴bc≤4，
△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=4+a=4+
b2+c2-2bc•cosA
=4+
(b+c)2-3bc
=4+
16-3bc
≥4+
16-12
=6，
故△ABC的周長(zhǎng)最小值為6．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量的垂直的性質(zhì)，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
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ax2+b
x2+1
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證明：
2
3
+
2
5
+
2
7
+…+
2
2n+1
＜ln（n+1）＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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1
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．

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