解:(Ⅰ)由題設(shè)知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532305.png)
,因為a
2=b
2+c
2a
2=4,c
2=1,∴橢圓C的方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2913.png)
(3分)
(Ⅱ)易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l方程y=k(x-1),且l與y軸交于M(0,-k),設(shè)直線l交橢圓于A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20641.png)
得(3+4k
2)x
2-8k
2x+4k
2-12=0,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/146056.png)
(6分)
又由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532306.png)
,
∴(x
1,y
1)=λ(1-x
1,-y
1),
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532307.png)
,同理∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532308.png)
(8分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532309.png)
所以當直線l的傾斜角變化時,λ+μ的值為定值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23303.png)
;(10分)
(Ⅲ)當直線l斜率不存在時,直線l⊥X軸,則ABED為矩形,由對稱性知,AE與BD相交FK的中點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532310.png)
猜想,當直線l的傾斜角變化時,AE與BD相交于定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/156932.png)
(11分)
證明:由(Ⅱ)知A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),∴D(4,y
1),E(4,y
2)
當直線l的傾斜角變化時,首先證直線AE過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532310.png)
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/360106.png)
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/89476.png)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/360107.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532311.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532312.png)
∴點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/156932.png)
在直線l
AE上,同理可證,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/156932.png)
也在直線l
BD上;∴當m變化時,AE與BD相交于定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80880.png)
分析:(Ⅰ)由題設(shè)知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532305.png)
,因為a
2=b
2+c
2a
2=4,c
2=1,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)設(shè)直線l方程y=k(x-1),且l與y軸交于M(0,-1),設(shè)直線l交橢圓于A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20641.png)
得(3+4k
2)x
2-8k
2x+4k
2-12=0,再由韋達定理結(jié)合題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出當直線l的傾斜角變化時,λ+μ的值為定值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23303.png)
.
(Ⅲ)當直線l斜率不存在時,直線l⊥X軸,則ABED為矩形,由對稱性知,AE與BD相交FK的中點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532310.png)
猜想,當直線l的傾斜角變化時,AE與BD相交于定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/156932.png)
.
證明:由A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),知D(4,y
1),E(4,y
2).當直線l的傾斜角變化時,首先證直線AE過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532310.png)
再證點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/156932.png)
也在直線l
BD上;所以當m變化時,AE與BD相交于定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80880.png)
.
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要靈活運用圓錐曲線性質(zhì),注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.