已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，，

（1）設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，，且是等比數(shù)列，求和的值．

 

【答案】

見(jiàn)解析

【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。

【解析】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。

 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。

從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出

解：（1）∵，∴。

                ∴ 。∴   。

                ∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。

（2）∵，∴。

     ∴。（﹡）

     設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明

     若則，∴當(dāng)時(shí)，，與（﹡）矛盾。

                若則，∴當(dāng)時(shí)，，與（﹡）矛盾。

                ∴綜上所述，�！�，∴。

                又∵，∴是公比是的等比數(shù)列。

                若，則，于是。

                又由即，得。

                ∴中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾�！�。

                ∴。

                ∴

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}，由下表給出：
n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
定義數(shù)列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，4，5)，并規(guī)定數(shù)列{an}，{bn}的“并和”為Sab=a1+a2+…+a5+c5，若Sab=15，則y的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
anbn
an2+bn2
，n∈N*．
（1）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，有an≤
2
2
成立；
（2）設(shè)bn+1=
bn
an
，n∈N*，求證：數(shù)列{(
bn
an
)2}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)bn+1=anbn，n∈N*，試問(wèn){an}可能為等比數(shù)列嗎？若可能，請(qǐng)求出公比的值，若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
a
2
n
+b
2
n
，n∈N﹡，
（Ⅰ）設(shè)bn+1=1+
bn
an
，n∈N﹡，求證：
（1）
bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)2
；
（2）數(shù)列{(
bn
an
)2}是等差數(shù)列，并求出其公差；
（Ⅱ）設(shè)bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N﹡，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）設(shè)bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求證：數(shù)列{(
bn
an
) 2}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列由表下給出：
定義數(shù)列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，…，5)，并規(guī)定數(shù)列		 n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
{ an}，{ bn}的“并和”為 Sab=a1+a2+…+a5+c5．若 Sab=15，
則y的最小值為
3
3
．

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