Question

已知函數(shù)，
(1)求函數(shù)f(x)的極值；
(2)求證：當x＞1時，f(x)＞g(x)；
(3)如果x₁＜x₂，且f(x₁)=f(x₂)，求證：f(x₁)＞f(2-x₂)。

Answer 1

（1）解：∵，∴，
令f′(x)=0，解得x=1，
f(x)、f′(x)隨x的變化情況見下表：

∴當x=1時，f(x)取得極大值f(1)=；　
（2）證明：令，
則，
當x＞1時，1-x＜0，2x＞2，從而＜0，
∴＞0，F(xiàn)(x)在（1，+∞）是增函數(shù)，
∴，
故當x＞1時，f(x)＞g(x)。
（3）證明：∵f(x)在（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，在（1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
∴當，且時，x₁、x₂不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，
∴，
由（2）的結(jié)論知x＞1時，＞0，
∴，
∵，
∴，
又，
∴�！�