Question

已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，與直線3x-4y+7=0相切，且被軸截得的弦長為，圓C的面積小于13．

（Ⅰ）求圓C的標準方程；

（Ⅱ）設過點M(0，3)的直線l與圓C交于不同的兩點A，B，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）設圓C：(x-a)²+y²=R²(a>0)，由題意知

  解得a=1 或 a=，  

又∵ S=πR²<13，

∴ a=1，

∴ 圓C的標準方程為：(x-1)²+y²=4．  

（Ⅱ）當斜率不存在時，直線l為：x=0不滿足題意．

當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

又∵ l與圓C相交于不同的兩點，

聯立消去y得：(1+k²)x²+(6k-2)x+6=0，

∴Δ=(6k-2)²-24(1+k²)=36k²-6k-5>0，

解得或．

x₁+x₂=，y₁+ y₂=k(x₁+x₂)+6=，

，，

假設∥，則，

∴ ，

解得，假設不成立．

∴ 不存在這樣的直線l．