Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a3x+1 ， g（x）=（ ）5x﹣2 ， 其中a＞0，且a≠1．
（1）若0＜a＜1，求滿足f（x）＜1的x的取值范圍；
（2）求關(guān)于x的不等式f（x）≥g（x）的解集．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（x）=a3x+1，0＜a＜1，

由f（x）＜1，即a3x+1＜1=a0，

由0＜a＜1，

∴f（x）=a3x+1，在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，

∴3x+1＞0，解得：x＞﹣ ，

∴滿足f（x）＜1的x的取值范圍（﹣ ，+∞）

（2）

解：由不等式f（x）≥g（x），即a3x+1≥（ ）5x﹣2=a2﹣5x，

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax在R單調(diào)遞減，

∴3x+1≤2﹣5x，解得：x≤ ，

當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax在R單調(diào)遞增，

3x+1≥2﹣5x，解得：x≥ ，

故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為：{x丨x≤ }；當(dāng)a＞1時(shí)，解集為：{x丨x≥ }

【解析】（1）由f（x）＜1，即a3x+1＜1=a0 ， 由0＜a＜1，則f（x）=a3x+1 ， 在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，因此3x+1＞0，解得：x＞﹣ ，即可求得f（x）＜1的x的取值范圍；（2）由不等式f（x）≥g（x），即a3x+1≥（ ）5x﹣2=a2﹣5x ， 則0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax在R單調(diào)遞減，則3x+1≤2﹣5x，解得：x≥ ，同理當(dāng)x＞1時(shí)，即可求得不等式f（x）≥g（x）的解集．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需要了解a0=1, 即x=0時(shí)，y=1，圖象都經(jīng)過(0，1)點(diǎn);ax=a，即x=1時(shí)，y等于底數(shù)a;在0<a<1時(shí):x<0時(shí)，ax>1,x>0時(shí)，0<ax<1;在a>1時(shí):x<0時(shí),0<ax<1,x>0時(shí)，ax>1才能得出正確答案．