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(一、二級(jí)達(dá)標(biāo)校做)
如圖,在梯形ADBC中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD,CD⊥PC,PA=數(shù)學(xué)公式
(Ⅰ) 證明:平面PAC⊥平面PCD;
(Ⅱ)若E為AD的中點(diǎn),求證:CE∥平面PAB;
(Ⅲ)求四面體A-FCD的體積.

解:(I)∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又CD⊥PC,PA∩PC=P.
∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面PCD
∴平面PAC⊥平面PCD.
(Ⅱ)∵AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,
∴∠BAC=45°,∠CAD=45°,AC=
∵CD⊥平面PAC,CA?平面PAC
∴CD⊥CA,
∴Rt△ACD中,AD=AC=2
又∵E為AD的中點(diǎn),
∴四邊形ABCE是正方形,
∴CE∥AB
∵CE?平面PAB,AB?平面PAB
∴CE∥平面PAB.
(Ⅲ)設(shè)PC的中點(diǎn)為F,連AF.
在Rt△PAC中,PA=,AC=,PC=2,
∴AF⊥PC,且AF=1,
由(Ⅰ)知:平面PAC⊥平面PCD,
∵平面PAC∩平面PCD=PC
∴AF⊥平面PCD,
在Rt△PCD中,CD=,PC=2,
∴S△PCD=CD•PC=
∴VA-PCD=S△PCD•AF=•1=
分析:(I)用線面垂直的性質(zhì),結(jié)合PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,再結(jié)合CD⊥PC,PA∩PC=P,得到CD⊥平面PAC,最后利用面面垂直的判定定理,得到平面PAC⊥平面PCD.
(II)根據(jù)底面直角梯形結(jié)合題中長(zhǎng)度,可分別證出△ABC和△ACD是等腰直角三角形,結(jié)合E為AD的中點(diǎn),證明出四邊形ABCE是正方形,從而CE∥AB,結(jié)合線面平行的判定定理,可得CE∥平面PAB.
(III)設(shè)PC的中點(diǎn)為F,連AF,可以證出△PAC是等腰直角三角形且AF是斜邊上的高,結(jié)合(I)平面PAC⊥平面PCD,得到AF是四面體A-FCD的高,然后計(jì)算出三角形PCD的面積,結(jié)合錐體的體積公式,可以算出四面體A-FCD的體積.
點(diǎn)評(píng):本題結(jié)合一個(gè)底面為直角梯形且一條側(cè)棱與底垂直的四棱錐為載體,著重考查了平面與平面垂直的判定、直線與平面平行的判定和錐體體積公式,屬于中檔題.
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如圖,在梯形ADBC中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD,CD⊥PC,PA=
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(Ⅰ) 證明:平面PAC⊥平面PCD;
(Ⅱ)若E為AD的中點(diǎn),求證:CE∥平面PAB;
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已知函數(shù)f(x)=2x+
λ2x
(x∈R,λ∈R)

(Ⅰ) 討論函數(shù)的f(x)奇偶性,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)當(dāng)λ=1時(shí),討論方程f(x)=μ(μ∈R)在x∈[-1,1]上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)情況,并說(shuō)明理由.

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