Question

 已知定點(diǎn)C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于    A，B兩點(diǎn).

    ⑴若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-，求直線AB的方程；

    ⑵在x軸上是否存在點(diǎn)M，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，    請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解  （1）依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1),

將y=k(x+1)代入x²+3y²=5,

消去y整理得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-5=0.                   …………2 分 

設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

① ②

則                       …………4分

由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-，

得=-=-,解得k=±，適合①.          ……………6分

所以直線AB的方程為x-y+1=0,或x+y+1=0.………………7分

(2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使為常數(shù).

（ⅰ）當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由（1）知

x₁+x₂=-,x₁x₂=.              ③

所以=（x₁-m）(x₂-m)+y₁y₂

=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁+1)(x₂+1)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-m)(x₁+x₂)+k²+m².                …………9分

將③代入，整理得

=+m²

=+m²

=m²+2m--.       ………………11分

注意到是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有

6m+14=0，m=-，此時(shí)=.        ………………12分

（ⅱ）當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為

、，

當(dāng)m=-時(shí)，亦有=.

綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M，使為常數(shù).  …………14分