Question

已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b1=

3

2

，bn+1=bn+3an(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）若c_n=a_nb_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}的前n項和Tn，求

lim

n→∞

Tn

cn

．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)知a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

(an2+an)-

1

2

(an-12+an-1)，a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能導(dǎo)出a_n=n．于是b_n+1=b_n+3ⁿ，b_n+1-b_n=3ⁿ，由此能求出b_n．
（II）cn=

1

2

n•3n，Tn=

1

2

(1×3+2×32+…n×3n)，由錯位相減法能求出Tn =

(2n-1)•3n+1+3

8

，由此能得到

lim

n→∞

Tn

cn

=

lim

n→∞

(2n-1)•3n+1+3 8

n•3n 2

=

lim

n→∞

(2n-1)•3n+1+3

4n•3n

=

lim

n→∞

(

3

2

-

3

4n

+

3

4n

• 

1

3n

)=

3

2

．

解答：解：（I）a1 =S1=

1

2

(a12+a1)，∴a₁=1，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

(an2+an)-

1

2

(an-12+an-1)，
∴a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
于是b_n+1=b_n+3ⁿ，∴b_n+1-b_n=3ⁿ，b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=

3

2

+3+32+…+3n-1=

3

2

+

3-3n

1-3

=

3n

2

．
（II）cn=

1

2

n•3n，
∴Tn=

1

2

(1×3+2×32+…n×3n)，3Tn=

1

2

(1×32+2×33+…+n×3n+1)，
∴2Tn=

1

2

(n•3n+1-3-32-…-3n)=

1

2

(n•3n+1-

3-3n+1

1-3

)=

(2n-1)•3n=1+3

4

，
Tn =

(2n-1)•3n+1+3

8

，
∴

lim

n→∞

Tn

cn

=

lim

n→∞

(2n-1)•3n+1+3 8

n•3n 2

=

lim

n→∞

(2n-1)•3n+1+3

4n•3n

=

lim

n→∞

(

3

2

-

3

4n

+

3

4n

• 

1

3n

)=

3

2

．

點評：第（I）題考查數(shù)列通項公式的求法，解題時要注意迭代法的合理運用；第（II）題考查前n項和的計算和極限在數(shù)列中的運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運用．