Question

已知點(diǎn)F（a，0）（a＞0），動(dòng)點(diǎn)M、P分別在x、y軸上運(yùn)動(dòng)，滿足

PM

 •

PF

=0，N為動(dòng)點(diǎn)，并且滿足

PN

•

PM

=0．
（1）求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F（a，0）的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)K（-a，0），

KA

與

KB

的夾角為θ，求證：0＜θ＜

π

2

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)N（x，y），P（0，b），由

PM

+

PN

=0及M在x軸可得y=2b①，再由P滿足

PM

 •

PF

=0，及①可得x=

b2

a

②，由①②可求C的軌跡方程
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-a），聯(lián)立方程

y=k(x-a) y2=4ax

整理可得，k²x²-（2ak²+4a）x+a²k²=0，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=

2ak2+4a

k2

x1x2= a2，根據(jù)向量的數(shù)量積可得

KA

•

KB

=(x1+a)(x2+a)+y1y2，通過(guò)已知條件可求其范圍，進(jìn)而可求夾角θ的范圍．

解答：解：（1）設(shè)N（x，y），P（0，b）
∵

PM

+

PN

=0∴M（-x，2b-y）
∵M(jìn)在x軸∴2b-y=0，y=2b①
又P滿足

PM

 •

PF

=0，即PM⊥PF
∴

y-b

x

•

b

-a

=-1，x=

b2

a

②
由①②可得，y²=4ax
（2）設(shè)l_AB：y=k（x-a）
則有

y=k(x-a) y2=4ax

整理可得，k²x²-（2ak²+4a）x+a²k²=0
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∴x1+x2=

2ak2+4a

k2

x1x2= a2
∴

KA

=(x1+a，y1)  

KB

=(x2+a，y2)
∴

KA

•

KB

=(x1+a)(x2+a)+y1y2=（x₁+a）（x₂+a）+k²（x₁-a）（x₂-a）
=[x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²]+k²[x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²]
=（1+k²）（x₁x₂+a²）+a（1-k²）（x₁+x₂）=

4a

k2

＞0
∴0＜θ＜

π

2

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的基本運(yùn)算為載體，綜合考查了向量垂直與直線垂直的相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，點(diǎn)的軌跡的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，本題的重點(diǎn)與難點(diǎn)在于直線與拋物線的相交關(guān)系，這也是圓錐曲線常考的試題類型