Question

下列結論中，正確的有

 

（寫出所有正確結論的序號）
①若定義在R上的函數f（x）滿足f（2010）＞f（2009），則函數f（x）在R上不是單調減函數；
②若定義在R上的函數f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調減函數，在區(qū)間（0，+∞）上也是單調減函數，則函數函數f（x）在R上是單調減函數；
③若定義在R上的函數f（x）滿足f（-2010）=-f（2010），則函數f（x）是奇函數；
④若定義在R上的函數f（x）滿足f（-2010）≠f（2010），則函數f（x）不是偶函數．

Answer 1

分析：逐個判斷四個命題的真假，對于①可以通過逆否命題得出它是真命題；對于②給出反例f(x)=

-x-1         x≤0 -x+1         x＞0

可得它是假命題；對于③給出反例f（x）=x²-2010²可得它是假命題；對于④可以通過逆否命題得出它是真命題．

解答：解：對于①，變形為“定義在R上的函數f（x）是單調減函數，則滿足f（2010）≤f（2009）”，顯然是真命題；
對于②，給出函數f(x)=

-x-1         x≤0 -x+1         x＞0

，在區(qū)間（-∞，0]上是單調減函數，在區(qū)間（0，+∞）上也是單調減函數，但函數f（x）在R上不是單調減函數，說明②是假命題；
對于③，給出函數f（x）=x²-2010²，滿足f（-2010）=-f（2010），但函數f（x）不是奇函數說明③是假命題；
對于④，逆否命題為“定義在R上的函數f（x）是偶函數，則f（-2010）=f（2010）”顯然是真命題．
故答案為：①④

點評：本題考查了函數的單調性的判斷與證明，屬于基礎題，熟練掌握單調性的定義是解決本題的關鍵．注意逆否命題的應用．