Question

（2011•重慶模擬）如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

6

．
（Ⅰ）求點A₁到平面AB₁C₁的距離；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點A₁到平面AB₁C₁的距離為h，利用等體積可求；
（Ⅱ）分別以CB，CC₁，CA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求平面BAB₁、AB₁C₁一個法向量，再利用公式求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）設點A₁到平面AB₁C₁的距離為h，則由題意，
AC₁=3．B₁C₁=1，B₁C₁⊥AC₁
∴

1

2

×

3

×1×

6

=

1

2

× 3×1×h
∴h=

2

（Ⅱ）分別以CB，CC₁，CA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A(0，0，

3

)，B(1，0，0)，B1(1 ，

6

，0)，C1(0 ，

6

，0)
設平面BAB₁的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則

x- 3 z=0 6 y=0

，∴x=

3

，y=0，z=1，∴

n

=(

3

，0，1)
同理可得平面AB₁C₁的一個法向量

m

=(0，1，

2

)
設二面角B-AB₁-C₁的大小為α，則cosα=

2

2 3

=

6

6

∴二面角B-AB₁-C₁的余弦值為

6

6

．

點評：本題以直三棱柱為載體，考查點面距離，考查面面角，關鍵是構建空間直角坐標系，用坐標表示向量，進而利用公式求解．