Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），右準線l交x軸于點A，且

AF1

=2

AF2

．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F₁、F₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦點坐標可求得c，進而根據(jù)

AF1

=2

AF2

求得a，進而求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）先看當直線DE和直線MN與x軸垂直時，可求得四邊形DMEN的面積；進而看直線DE，MN均與x軸不垂直時，設DE的直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），進而利用韋達定理可得x₁x₂和x₁+x₂，進而可表示出|DE|，同理可表示出|MN|進而可表示出四邊形的面積，進而根據(jù)均值不等式求得四邊形的面積的范圍，則最大值和最小值可得．

解答：解：（Ⅰ）由題意，|

F1F2

|=2c=2，∴A（a²，0），
∵

AF1

=2

AF2

∴F₂為AF₁的中點
∴a²=3，b²=2
即橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．

（Ⅱ）當直線DE與x軸垂直時，|DE|=2

b2

a

=

4

3

，
此時|MN|=2a=2

3

，四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4．
同理當MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4．
當直線DE，MN均與x軸不垂直時，設DE：y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則

x1+x2= -6k2 2+3k2 x1x2= 3k2-6 2+3k2

所以，|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 • k2+1

2+3k2

，
所以，|DE|=

k2+1

|x1-x2|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，
同理，|MN|=

4 3 ((- 1 k )2+1)

2+3(- 1 k )2

=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

．
所以，四邊形的面積S=

|DE|•|MN|

2

=

1

2

•

4 3 (k2+1)

2+3k2

•

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

，
令u=k2+

1

k2

，得S=

24(2+u)

13+6u

=4-

4

13+6u

因為u=k2+

1

k2

≥2，
當k=±1時，u=2，S=

96

25

，且S是以u為自變量的增函數(shù)，
所以

96

25

≤S＜4．
綜上可知，

96

25

≤S≤4．即四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為

96

25

．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程問題．涉及了直線與橢圓的關系，考查了學生綜合分析問題和基本運算的能力．