精英家教網(wǎng)設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),右準線l交x軸于點A,且
AF1
=2
AF2

(Ⅰ)試求橢圓的方程;
(Ⅱ)過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(如圖所示),試求四邊形DMEN面積的最大值.
分析:(Ⅰ)由焦點坐標可求得c,進而根據(jù)
AF1
=2
AF2
求得a,進而求得b,則橢圓方程可得.
(Ⅱ)先看當直線DE和直線MN與x軸垂直時,可求得四邊形DMEN的面積;進而看直線DE,MN均與x軸不垂直時,設DE的直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y,設D(x1,y1),E(x2,y2),進而利用韋達定理可得x1x2和x1+x2,進而可表示出|DE|,同理可表示出|MN|進而可表示出四邊形的面積,進而根據(jù)均值不等式求得四邊形的面積的范圍,則最大值和最小值可得.
解答:解:(Ⅰ)由題意,|
F1F2
|=2c=2
,∴A(a2,0),
AF1
=2
AF2
∴F2為AF1的中點
∴a2=3,b2=2
即橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1


(Ⅱ)當直線DE與x軸垂直時,|DE|=2
b2
a
=
4
3
,
此時|MN|=2a=2
3
,四邊形DMEN的面積為
|DE|•|MN|
2
=4

同理當MN與x軸垂直時,也有四邊形DMEN的面積為
|DE|•|MN|
2
=4

當直線DE,MN均與x軸不垂直時,設DE:y=k(x+1),代入橢圓方程,消去y得:(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0.
設D(x1,y1),E(x2,y2),則
x1+x2=
-6k2
2+3k2
x1x2=
3k2-6
2+3k2

所以,|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
3
k2+1
2+3k2

所以,|DE|=
k2+1
|x1-x2|=
4
3
(k2+1)
2+3k2
,
同理,|MN|=
4
3
((-
1
k
)
2
+1)
2+3(-
1
k
)
2
=
4
3
(
1
k2
+1)
2+
3
k2

所以,四邊形的面積S=
|DE|•|MN|
2
=
1
2
4
3
(k2+1)
2+3k2
4
3
(
1
k2
+1)
2+
3
k2
=
24(k2+
1
k2
+2)
6(k2+
1
k2
)+13
,
u=k2+
1
k2
,得S=
24(2+u)
13+6u
=4-
4
13+6u

因為u=k2+
1
k2
≥2
,
當k=±1時,u=2,S=
96
25
,且S是以u為自變量的增函數(shù),
所以
96
25
≤S<4

綜上可知,
96
25
≤S≤4
.即四邊形DMEN面積的最大值為4,最小值為
96
25
點評:本題主要考查了橢圓的標準方程問題.涉及了直線與橢圓的關系,考查了學生綜合分析問題和基本運算的能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a>1)
短軸的一個端點,Q為橢圓上一個動點,求|PQ|的最大值.

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