Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）和四個點A、B、C、D，其中A在拋物線上，B（b，0），C（0，c）（c≠0），且直線AC交X軸于D點
（1）若p=2，b=-8，且D為AC中點，求證：AC⊥BC
（2）若p=2，b=1，且AC⊥BC，判斷A，C，D三點的位置關系，并說明理由．
（3）對（1）（2）兩個問題的探究過程中，涉及到以下三個條件：
①AC⊥BC；  ②點A、C、D的位置關系； ③點B的坐標．
對拋物線y²=2px（p＞0），請以其中的兩個條件做前提，一個做結(jié)論，寫出三個真命題，（不必證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)合拋物線的方程可設，由D為AC的中點可知
要證明AC⊥BC?即可
（2）由題意可設由AC⊥BC，可得，代入可求，從而可得C是AD的中點
（3）真命題共有8種情況：①②⇒③共3種情況；①③⇒②共2種情況；②③⇒①共3種情況
解答：解：（1）由題意可設，…（1分）
?D為AC中點，∴…（4分）
又∵∴AC⊥BC…（6分）
（2）由題意可設，…（7分）
∵AC⊥BC，∴（10分）
即，C是A，D的中點．…（12分）
（3）真命題共有8種情況：每個（2分）
①②⇒③共3種情況：
（i）若AC⊥BC，C為A，D的中點，則
（ii）若AC⊥BC，D為A，C中點，則B（-4p，0）
（iii）若AC⊥BC，A是C，D中點，則B（-4p，0）
①③⇒②共2種情況：
（i）若AC⊥BC，，則C為A，D的中點
（ii）若AC⊥BC，B（-4p，0），則D為A，C中點或A是C，D中點
②③⇒①共3種情況：
（i）若C為A，D的中點，，則AC⊥BC
（ii）若D為A，C中點，B（-4p，0），則AC⊥BC
（iii）若A是C，D中點，B（-4p，0），則AC⊥BC
點評：本題主要考查了拋物線的方程的應用，直線垂直與向量垂直的相互轉(zhuǎn)化的應用，利用拋物線方程y²=2px（p＞0）的特點設出拋物線上點的坐標是一種常用的設法