在△ABC中，已知a2+b2=2010c2，求證：
2sinAsinBcosC
sin2(A+B)
為定值．
考點：同角三角函數(shù)基本關系的運用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式代入求出
c2
ab
=
2cosC
2009
，利用誘導公式及正弦定理化簡得
sinAsinB
sin2(A+B)
=
2009
2cosC
，原式變形后將各自的值代入計算即可得到結果為定值．
解答： 證明：∵在△ABC中，a2+b2=2010c2，
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
2009c2
2ab
，即
c2
ab
=
2cosC
2009
，
∵sin（A+B）=sinC，
∴由正弦定理化簡得：
sinAsinB
sin2(A+B)
=
sinAsinB
sin2C
=
ab
c2
=
2009
2cosC
，
則原式=2cosC•
sinAsinB
sin2(A+B)
=2009．
點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，誘導公式的作用，余弦定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．
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0
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