Question

（2011•佛山二模）已知函數(shù)f（x）=x²+

2a

x

（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，若P（x₁，f（x₁）），Q（x₂f（x₂））（0＜x₁＜x₂）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)x₀＞0，使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

．證明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）可求得f′（x）=

2x3-2a

x2

，通過對a分a≤0與a＞0討論，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）a=

1

2

時(shí)，f（x）=x²+

1

x

（x＞0），f′（x）=2x-

1

x2

，依題意可得2x₀-

1

x02

=（x₂+x₁）-

1

x1x2

，即x₀是方程2x-

1

x2

-（x₂+x₁）+

1

x1x2

=0的根，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2x-

1

x2

-（x₂+x₁）+

1

x1x2

，利用零點(diǎn)存在定理即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：f′（x）=2x-

2a

x2

=

2x3-2a

x2

                                        …（1分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；                        …（3分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)0＜x＜

3	a

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)在（0，

3	a

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

3	a

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在[

3	a

，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（0，∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

3	a

）；單調(diào)遞增區(qū)間為[

3	a

，+∞）．…（6分）
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=x²+

1

x

（x＞0），此時(shí)f′（x）=2x-

1

x2

，…（7分）

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(x22+ 1 x2 )-(x12+ 1 x1 )

x2-x1

=

(x2-x1)[(x2+x1)- 1 x1x2 ]

x2-x1

=（x₂+x₁）-

1

x1x2

，
從而原等式為2x₀-

1

x02

=（x₂+x₁）-

1

x1x2

．…（8分）
由題意可得x₀是方程2x-

1

x2

-（x₂+x₁）+

1

x1x2

=0的根，…（9分）
令g（x）=2x-

1

x2

-（x₂+x₁）+

1

x1x2

，
g（x₁）=2x₁-

1

x12

+

1

x1x2

-x₁-x₂=（x₁-x₂）-

x2-x1

x12x2

=（x₁-x₂）（1+

1

x12x2

）＜0，…（11分）
g（x₂）=2x₂-

1

x22

+

1

x1x2

-x₁-x₂=（x₂-x₁）-

x1-x2

x22x1

=（x₂-x₁）（1+

1

x1x22

）＞0，…（12分）
g（x₁）•g（x₂）＜0，由零點(diǎn)的存在性定理，可知：
∴x₁＜x₀＜x₂．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用．考查運(yùn)算、抽象思維與推理證明的能力，屬于難題．