Question

已知p：

x-10

x+2

＜0，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），
（1）若非p 是q 的充分不必要條件，求實數(shù)a組成的集合M．
（2）對于M中的一切實數(shù)x，不等式（x-2）m＜2x-1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解不等式

x-10

x+2

＜0可得p為真命題時x的取值范圍，進而得到?p成立時，x的取值范圍，記作集合A；解不等式x²-2x+1-a²≥0可得q為真時，x的取值范圍記作集合B，進而根據(jù)非p 是q 的充分不必要條件，得到A?B，并由此構造關于a的不等式，求出實數(shù)a組成的集合M．
（2）構造函數(shù)f（x）=（x-2）m-（2x-1），由不等式（x-2）m＜2x-1恒成立，可得f（0）≤0且f（3）＜0，進而求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：（1）解：解

x-10

x+2

＜0得：-2＜x＜10
∴?p：A={x|x≥10，或x≤-2}
解x²-2x+1-a²≥0得x≥1+a，或x≤1-a，
記B={x|x≥1+a，或x≤1-a}
若非p 是q 的充分不必要條件，
則?p⇒q，
∴A?B，即

1-a＞-2 1+a≤10 a＞0

或

1-a≥-2 1+a＜10 a＞0

，
解得M={a|0＜a≤3}
（2）解：若設f（x）=（x-2）m-（2x-1）=（m-2）x+（1-2m），
把它看成是關于x的直線，
若不等式（x-2）m＜2x-1恒成立，
則直線恒在x的軸的下方．
∴f（0）≤0且f（3）＜0
解得：

1

2

≤m＜5

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，充要條件，分式不等式和二次不等式，集合的包含關系，難度中檔．