Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若曲線過原點(diǎn)的切線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，試求b的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；（Ⅱ） 。

【解析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求解函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用方程的實(shí)根分布進(jìn)行求解.

（I）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)f′（x）=3x²-3a，分a＞0，f′（x）≥0，a＞0則x=± ，討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的極值，從而可求a

（II）由題意可求切線方程y=-9x，由 y=-9x與y=2bx²-7x-3-b，

在[-1，1]上的圖象有交點(diǎn)，說明函數(shù)得函數(shù)h（x）=2bx²+2x-3-b在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，利用方程的實(shí)根分別問題進(jìn)行求解即可

解： (Ⅰ)  ，又函數(shù)有極大值

，得

在上遞增，在上遞減

，得   …………………………7分

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)，則切線斜率

所以切線方程為

將原點(diǎn)坐標(biāo)代入得，所以

切線方程為

由得

設(shè)

則令，得

所以在上遞增，在上遞減

所以

若有兩個(gè)解，則

得      …………………………15分