【題目】如圖,菱形的邊長為12,
,
與
交于
點,將菱形
沿對角線
折起,得到三棱錐
,點
是棱
的中點,
.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)根據題意,由菱形的性質可知和
,由直角三角形斜邊上的中線的性質得出
,利用勾股定理的逆定理得出
,根據線面垂直的判定定理即可證出
平面
,最后由線面垂直的性質得出
;
(2)根據菱形對角線的性質得出,
,線面垂直的判定定理得出
平面
,建立空間直角坐標系,分別求出平面
和平面
的法向量,利用空間向量法求二面角的公式,即可求出二面角
的余弦值.
證明:(1)∵四邊形是菱形,且邊長為12,
,
∴,
,
在中,
,
,
∴,又
是
中點,
∴,
又,
則,∴
,
又平面
,
,
∴平面
,
又∵平面
,
∴.
解:(2)由題意,,
,
又由(1)知,
且平面
,
,則
平面
,
故以為坐標原點,分別以
,
,
方向為
、
、
軸正向建立空間直角坐標系,
由于,則
,
易知,
,
,
故,
,
設平面的法向量
,則
,
即令
,
則,
,
,
由于已證平面
,故平面
的法向量為
,
所以,
由圖知二面角為銳二面角,故其余弦值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】高二某班共有45人,學號依次為1、2、3、…、45,現(xiàn)按學號用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為5的樣本,已知學號為6、24、33的同學在樣本中,那么樣本中還有兩個同學的學號應為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】互聯(lián)網正在改變著人們的生活方式,在日常消費中手機支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式. 某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調查研究. 采用調查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究,發(fā)現(xiàn)共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式,在這60人中,45歲以下的占,在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中,45歲及以上的有30人.
(1)從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中,任意選取3人,求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率;
(2)某商家為了鼓勵人們使用手機支付,做出以下促銷活動:凡是用手機支付的消費者,商品一律打八折. 已知某商品原價50元,以上述調查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率,設銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的,求銷售10件該商品的銷售額的數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】矩形中,
,
,點
,
分別是
,
上的動點,將矩形
沿
所在的直線進行隨意翻折,在翻折過程中直線
與直線
所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為( )
A.B.
C.
D.
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【題目】2019年底,武漢發(fā)生“新型冠狀病毒”肺炎疫情,國家衛(wèi)健委緊急部署,從多省調派醫(yī)務工作者前去支援,正值農歷春節(jié)舉家團圓之際,他們成為“最美逆行者”.武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者疑似的新冠肺炎患者無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強化網格化管理,不落一戶不漏一人.若在排查期間,某小區(qū)有5人被確認為“確診患者的密切接觸者”,現(xiàn)醫(yī)護人員要對這5人隨機進行逐一“核糖核酸”檢測,只要出現(xiàn)一例陽性,則將該小區(qū)確定為“感染高危小區(qū)”.假設每人被確診的概率均為且相互獨立,若當
時,至少檢測了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率取得最大值,則
____.
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【題目】為評估設備生產某種零件的性能,從該設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:
直徑/ | 78 | 79 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 合計 |
件數 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經計算,樣本的平均值,標準差
,以頻率值作為概率的估計值.
(1)為評判一臺設備的性能,從該設備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據以下不等式進行評判(
表示相應事件的頻率):
①;②
;③
,評判規(guī)則為:若同時滿足上述三個不等式,則設備等級為甲;僅滿足其中兩個,則等級為乙;若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部不滿足,則等級為丁.試判斷
設備的性能等級.
(2)將直徑小于等于的零件或直徑大于等于
的零件認定為是“次品”,將直徑小于等于
的零件或直徑大于等于
的零件認定為是“突變品”,從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件,求“突變品”個數
的數學期望.
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【題目】已知拋物線與直線
相切于點
,點
與
關于
軸對稱.
(1)求拋物線的方程及點
的坐標;
(2)設是
軸上兩個不同的動點,且滿足
,直線
、
與拋物線
的另一個交點分別為
,試判斷直線
與直線
的位置關系,并說明理由.如果相交,求出的交點的坐標.
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【題目】若數列與函數
滿足:①
的任意兩項均不相等,且
的定義域為
;②數列
的前
的項的和
對任意的
都成立,則稱
與
具有“共生關系”.
(1)若,試寫出一個與數列
具有“共生關系”的函數
的解析式;
(2)若與數列
具有“共生關系”,求實數對
所構成的集合,并寫出
關于
,
,
的表達式;
(3)若,求證:“存在每項都是正數的無窮等差數列
,使得
與
具有‘共生關系’”的充要條件是“點
在射線
上”.
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