Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=

2

．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD．
（2）求PD與平面PAB所成角正切值．
（3）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：

分析：（1）取AB中點E，連PE、CE，證明PE⊥平面ABCD，即可證明平面PAB⊥平面ABCD
（2）以AB中點E為坐標原點，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系．求出PD與平面PAB所成角的正弦值，即可求PD與平面PAB所成角正切值．
（3）建立如圖所示的空間直角坐標系．利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答： （1）證明：如圖所示，取AB中點E，連PE、CE．
則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，∴PE⊥AB．
∵PE=1，CE=

3

，PC=2，即PE²+CE²=PC²．
由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．
又∵AB?平面ABCD，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD．
而PE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（2）解：以AB中點E為坐標原點，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A（0，-1，0），C（

3

，0，0），D（

3

，-2，0），P（0，0，1），

PD

=（

3

，-2，-1），

EC

=（

3

，0，0），
∴PD與平面PAB所成角的正弦值為

3

3+4+1 • 3

=

6

4

，
∴PD與平面PAB所成角正切值為

15

5

．
（3）∵

AC

=(

3

，1，0)，

PC

=(

3

，0，-1)，

DC

=(0，2，0)，
設

n

=（x，y，z）是平面PAC的一個法向量，
則

n • AC = 3 x+y=0 n • PC = 3 x-z=0

，
取x=1，可得y=-

3

，z=

3

，即

n

=（1，-

3

，

3

）
設

m

=（x，y，z）是平面PCD的一個法向量，
則

n • DC =2y=0 n • PC = 3 x-z=0

，
取x=1，可得y=0，z=

3

．            
故

m

=（1，0，

3

），
故cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2 7

7

，
即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是

2 7

7

．

點評：熟練掌握等腰三角形的性質、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、面面垂直、通過建立空間直角坐標系并利用兩個平面的法向量的夾角得到二面角的方法等是解題的關鍵．