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已知定義域為R的函數f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

(Ⅰ)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

(Ⅱ)設有且僅有一個實數x0,使得f(x)= x0,求函數f(x)的解析表達式.

 

【答案】

解:(Ⅰ)因為對任意x∈R,有f(f(x)-x2 + x)=f(x)- x2 +x,

所以f(f(2)- 22+2)=f(2)-22+2.

又由f(2)=3,得f(3-22+2)-3-22+2,即f(1)=1.

若f(0)=a,則f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.

(Ⅱ)因為對任意x∈R,有f(f(x))-x2 +x)=f(x)-x2 +x.

又因為有且只有一個實數x0,使得f(x0)- x0.所以對任意xεR,有f(x)-x2 +x= x0.

在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,

 

又因為f(x0)- x0,所以x0-x=0,故x0=0或x0=1.

 

若x0=0,則f(x)- x2 +x=0,即f(x)= x2 -x.

但方程x2 -x=x有兩上不同實根,與題設條件矛質,故x2≠0.

若x2=1,則有f(x)-x2 +x=1,即f(x)= x2 -x+1.易驗證該函數滿足題設條件.

綜上,所求函數為f(x)= x2 -x+1(xR)

【解析】略

 

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