Question

復(fù)數(shù)z₁，z₂滿足

3

z₁-1+（z₁-z₂）i=0且|z₁-

3

+i|=1．求z₂對應(yīng)點(diǎn)軌跡及|z₁-z₂|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復(fù)數(shù)求模

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：復(fù)數(shù)z₁，z₂滿足

3

z₁-1+（z₁-z₂）i=0，可得z₁=

3 -i+( 3 i+1)z2

4

．由于|z₁-

3

+i|=1．可得|z₂-（-3i）|=1，設(shè)z₂=x+yi（x，y∈R）．可得z₂對應(yīng)點(diǎn)軌跡為x²+（y+3）²=1．圓心為C（0，-3），半徑r=1．由|z₁-

3

+i|=1．設(shè)z₁=x+yi（x，y∈R），可得(x-

3

)2+(y+1)2=1．圓心為D（

3

，-1），半徑R=1，可得|z₁-z₂|的最大值為|CD|+R+r．

解答： 解：∵復(fù)數(shù)z₁，z₂滿足

3

z₁-1+（z₁-z₂）i=0，
∴(

3

+i)z1=1+z₂i，
∴z₁=

(1+z2i)( 3 -i)

( 3 +i)( 3 -i)

=

3 -i+( 3 i+1)z2

4

．
∵|z₁-

3

+i|=1．
∴|

3 -i+( 3 i+1)z2

4

-(

3

-i)|=1，
化為|z₂-（-3i）|=1，
設(shè)z₂=x+yi（x，y∈R）．
∴z₂對應(yīng)點(diǎn)軌跡為x²+（y+3）²=1．圓心為C（0，-3），半徑r=1．
∵|z₁-

3

+i|=1．
設(shè)z₁=x+yi（x，y∈R），
則(x-

3

)2+(y+1)2=1．圓心為D（

3

，-1），半徑R=1．
∴|CD|=

( 3 )2+(-3+1)2

=

7

，
∴|z₁-z₂|的最大值為

7

+2．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其幾何意義、模的計(jì)算公式、兩圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．