Question

已知函數g（x）=是奇函數，f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函數．
（1）求m+n的值；
（2）設h（x）=f（x）+x，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]對任意x≥1恒成立，求實數a的取值范圍．
（3）若對任意的t∈R，不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據定義在R上奇函數滿足g（0）=0，解出n=1，再根據f（-x）=f（x），化簡整理得到m=-，由此可得m+n的值；
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），從而h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），根據g（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數，得g（x）_min=g（1）=，可建立關于a的不等式組，解之即可得到實數a的取值范圍；
（3）根據g（x）是定義在R上的奇函數且是增函數，將原不等式轉化為t²-2t＞-2t²+k對一切t∈R恒成立，再結合一元二次不等式恒成立的條件，列出關于k的不等式，解之可得k的取值范圍．
解答：解：（1）由于g（x）為奇函數，且定義域為R，
∴g（0）=0，即=0，解之得n=1，…（2分）
由于f（x）=log₄（4^x+1）+mx，
∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-mx=log₄（4^x+1）-（m+1）x，
∵f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函數，
∴f（-x）=f（x），得到m=-，由此可得：m+n的值為；…（4分）
（2）∵h（x）=f（x）+x=log₄（4^x+1），∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（6分）
又∵g（x）==2^x-2^-x在區(qū)間[1，+∞）上是增函數，
∴當x≥1時，g（x）_min=g（1）=…（8分）
由題意得到，解之得-＜a＜3，得a的取值范圍是：（-，3）．…（9分）
（3）g（x）=2^x-2^-x在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數，
又∵g（-x）=-g（x），得g（x）是奇函數，
∴不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0等價于g（t²-2t）＞-g（2t²-k）=g（-2t²+k）…（10分）
由g（x）在R上是增函數得，t²-2t＞-2t²+k對一切t∈R恒成立，…（12分）
即3t²-2t-k＞0對一切t∈R恒成立，，所以△=4+12k＜0，解之得k…（14分）
點評：本題給出含有指數和對數的函數，討論函數的奇偶性、單調性并解決關于x的不等式恒成立的問題，著重考查了基本初等函數的圖象與性質和不等式恒成立問題的處理等知識，屬于中檔題．