如圖,四棱錐E—ABCD中,ABCD是矩形,平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F為CE上的點,且BF
平面AC E.
(1)求證:AEBE;
(2)求三棱錐D—AEC的體積;
(3)求二面角A—CD—E的余弦值.
(1)空間中的線線垂直的證明,一般主要是通過線面垂直的性質(zhì)定理來加以證明。
(2)
(3)
【解析】
試題分析:解:(1)ABCD是矩形,
BC
AB,
平面EAB
平面ABCD,平面EAB
平面ABCD=AB,BC
平面ABCD,
BC
平面EAB,
EA
平面EAB,
BC
EA ,
BF
平面ACE,EA
平面ACE,
BF
EA,
BC
BF=B,BC
平面EBC,BF
平面EBC,
EA
平面EBC ,
BE
平面EBC,
EA
BE。
(2)
EA
BE,
AB=
,設(shè)O為AB的中點,連結(jié)EO,
∵AE=EB=2,EO
AB,
平面EAB
平面ABCD,
EO
平面ABCD,即EO為三棱錐E—ADC的高,且EO=
,
。
(3)以O(shè)為原點,分別以O(shè)E、OB所在直線為,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
,由(2)知
是平面ACD的一個法向量,設(shè)平面ECD的法向量為
,則
,即
,令
,則
,所以
,設(shè)二面角A—CD—E的平面角的大小為
,由圖得
,
所以二面角A—CD—E的余弦值為。
考點:二面角的平面角,線面垂直
點評:解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理,以及建立直角坐標(biāo)系來求解二面角的 平面角是常用 方法之一,屬于基礎(chǔ)題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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