Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁上的點(diǎn)均在C₂：（x-5）²+y²=9外，且對C₁上任意一點(diǎn)M，M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C₂上點(diǎn)的距離的最小值．
（Ⅰ）求曲線C₁的方程
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）（y≠±3）為圓C₂外一點(diǎn)，過P作圓C₂的兩條切線，分別于曲線C₁相交于點(diǎn)A，B和C，D．證明：當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)對C₁上任意一點(diǎn)M，M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C₂上點(diǎn)的距離的最小值，可得|x+2|=且圓C₂上的點(diǎn)位于直線x=-2的右側(cè)，從而可得曲線C₁的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為（-4，y），設(shè)切線方程為kx-y+y+4k=0，利用直線與圓相切可得，從而可得過P所作的兩條切線PA，PC的斜率k₁，k₂是方程的兩個(gè)實(shí)根，設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，y₃，y₄，從而可得；同理可得，由此可得當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值為6400．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），由已知得|x+2|=且圓C₂上的點(diǎn)位于直線x=-2的右側(cè)
∴=x+5
化簡得曲線C₁的方程為y²=20x
（Ⅱ）證明：當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為（-4，y），
∵y≠±3，∴過P且與圓C₂相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為
y-y=k（x+4），即kx-y+y+4k=0，
∴，整理得①
設(shè)過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k₁，k₂，則k₁，k₂是方程①的兩個(gè)實(shí)根
∴②
由，消元可得③
設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，y₃，y₄，
∴y₁，y₂是方程③的兩個(gè)實(shí)根
∴④
同理可得⑤
由②④⑤可得==6400
∴當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值為6400．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與圓相切，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是切線與拋物線聯(lián)立，屬于中檔題．