Question

設f（x）=sinx，g（x）=a+cosx，x∈[0，2π]，若f（x）的圖象與g（x）的圖象交點的個數(shù)有且僅有一個，則a的值為

 

．

Answer 1

分析：本題中x∈[0，2π]，f（x）的圖象與g（x）的圖象交點的個數(shù)有且僅有一個，可以轉化為相關的方程sinx=a+cosx，在x∈[0，2π]僅有一個解，進而整理成a=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

）在x∈[0，2π]僅有一個解，由圖象極易得出參數(shù)的值．

解答：解：∵f（x）的圖象與g（x）的圖象交點的個數(shù)有且僅有一個，
∴sinx=a+cosx，在x∈[0，2π]僅有一個解，
∴a=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

）在x∈[0，2π]僅有一個解，
∵y=

2

sin（x+

π

4

）的周期正好是2π
由其圖象知，當a的值為

2

或-

2

時a=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

）在x∈[0，2π]僅有一個解，
即f（x）的圖象與g（x）的圖象交點的個數(shù)有且僅有一個
故答案為

2

或-

2

．

點評：本題考查正弦類函數(shù)圖象的性質，正確解答本題的關鍵是將問題進行正確的轉化，即將兩他函數(shù)的圖象有一個交點的問題轉化為相應的方程有一個根的問題，二者的相互轉化給相關題的求解帶來了極大的方便，解題時要注意這一技巧的使用．