(1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0;(3)θ=;
(4)ρcos2=1;(5)ρ2cos(2θ)=4;(6)ρ=
.
思路分析:極坐標系和直角坐標系都是用一對有序實數來確定平面上一點的位置的方法.在解這類題時,除正確使用互化公式外,還要注意與恒等變換等知識相結合.
解:(1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x,得(ρsinθ)2=4ρcosθ.
化簡得ρsin2θ=4cosθ.
(2)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsinθ)2+(ρcosθ)2-2ρcosθ-1=0.
化簡得ρ2-2ρcosθ-1=0.
(3)∵tanθ=,∴tan
=
=
.化簡得y=
x(x≥0).
(4)∵ρcos2=1,
∴ρ·=1,即ρ+ρcosθ=2.
∴+x=2,化簡得y2=-4(x-1).
(5)∵ρ2cos(2θ)=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.
(6)∵ρ=,∴2ρ-ρcosθ=1.
∴=1,化簡得3x2+4y2-2x-1=0.
方法歸納 在進行兩種坐標間的互化時,要注意:
(1)互化公式是有三個前提條件的,極點與直角坐標系的原點重合;極軸與直角坐標系的橫軸的正半軸重合;兩種坐標系的單位長度相同.
(2)由直角坐標求極坐標時,理論上不是唯一的,但這里約定只在0≤θ<2π范圍內求值.
(3)由直角坐標方程化為極坐標方程,最后要化簡.
(4)由極坐標方程化為直角坐標方程時要注意變形的等價性,通常總要用ρ去乘方程的兩端,應該檢查極點是否在曲線上,若在,是等價變形,否則不是等價變形.
科目:高中數學 來源:2012-2013學年福建省泉州市高三畢業(yè)班質量檢查理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每小題7分,請考生任選2個小題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑,并將所選題號填入括號中.
(1)(本小題滿分7分)選修4—2:矩陣與變換
在平面直角坐標系中,把矩陣
確定的壓縮變換
與矩陣
確定的旋轉變換
進行復合,得到復合變換
.
(Ⅰ)求復合變換的坐標變換公式;
(Ⅱ)求圓在復合變換
的作用下所得曲線
的方程.
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中,直線
的參數方程為
(
為參數),
、
分別為直線
與
軸、
軸的交點,線段
的中點為
.
(Ⅰ)求直線的直角坐標方程;
(Ⅱ)以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,求點
的極坐標和直線
的極坐標方程.
(3)(本小題滿分7分)選修4—5:不等式選講
已知不等式的解集與關于
的不等式
的解集相等.
(Ⅰ)求實數,
的值;
(Ⅱ)求函數的最大值,以及取得最大值時
的值.
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科目:高中數學 來源:2010年福建省高三模擬考試數學(理科)試題 題型:解答題
本題(1)、(2)、(3)三個選答題,每小題7分,請考生任選2題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分。作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑,并將所選題號填入括號中.
(1)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標系與參數方程
以直角坐標系的原點為極點,
軸的正半軸為極軸。已知點
的直角坐標為(1,-5),點
的極坐標為
若直線
過點
,且傾斜角為
,圓
以
為圓心、
為半徑。
(I)求直線的參數方程和圓
的極坐標方程;
(II)試判定直線和圓
的位置關系.
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:矩陣與變換
把曲線先進行橫坐標縮為原來的一半,縱坐標保持不變的伸縮變換,再做關于
軸的反射變換變?yōu)榍
,求曲線
的方程.
(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講
關于的一元二次方程
對任意
無實根,求實數
的取值范圍.
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