Question

進行直角坐標方程與極坐標方程的互化.

(1)y²=4x;(2)y²+x²-2x-1=0;(3)θ=;

(4)ρcos²=1;(5)ρ²cos(2θ)=4;(6)ρ=.

Answer 1

思路分析：極坐標系和直角坐標系都是用一對有序實數來確定平面上一點的位置的方法.在解這類題時，除正確使用互化公式外，還要注意與恒等變換等知識相結合.

解：(1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y²=4x，得(ρsinθ)²=4ρcosθ.

化簡得ρsin²θ=4cosθ.

(2)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y²+x²-2x-1=0,得(ρsinθ)²+(ρcosθ)²-2ρcosθ-1=0.

化簡得ρ²-2ρcosθ-1=0.

(3)∵tanθ=，∴tan==.化簡得y=x(x≥0).

(4)∵ρcos²=1,

∴ρ·=1,即ρ+ρcosθ=2.

∴+x=2,化簡得y²=-4(x-1).

(5)∵ρ²cos(2θ)=4,∴ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=4,即x²-y²=4.

(6)∵ρ=,∴2ρ-ρcosθ=1.

∴=1,化簡得3x²+4y²-2x-1=0.

    方法歸納 在進行兩種坐標間的互化時，要注意:

(1)互化公式是有三個前提條件的，極點與直角坐標系的原點重合；極軸與直角坐標系的橫軸的正半軸重合；兩種坐標系的單位長度相同.

(2)由直角坐標求極坐標時，理論上不是唯一的，但這里約定只在0≤θ＜2π范圍內求值.

(3)由直角坐標方程化為極坐標方程，最后要化簡.

(4)由極坐標方程化為直角坐標方程時要注意變形的等價性，通常總要用ρ去乘方程的兩端，應該檢查極點是否在曲線上，若在,是等價變形，否則不是等價變形.